如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知底面 $\text{[math]}$ 为矩形，侧面 $\text{[math]}$ 是正三角形，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的正切值.

【考点】

直线与平面垂直的判定; 直线与平面垂直的性质; 二面角及二面角的平面角;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知三棱台 $\text{[math]}$ 的下底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求点B到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) 若P为BC的中点，Q为 $\text{[math]}$ 的中点，点F在侧面 $\text{[math]}$ 内，且 $\text{[math]}$ 平面APQ，当 $\text{[math]}$ 的面积最小时，求平面ACF与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

解答题困难

2. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是等边三角形，侧面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

(3) 试在平面 $\text{[math]}$ 内确定一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并求出线段 $\text{[math]}$ 的长度.

解答题普通

3. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$

(2) 当四棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球体积最小时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的余弦值．

解答题普通