十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理。韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，则有

1. 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理。韦达定理：有一元二次方程形如 $\text{[math]}$ 的两根分别为 $\text{[math]}$ ，则有

$\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两实根，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

(2) 已知： $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 根据根的定义，有 $\text{[math]}$ ，将两式相加，得 $\text{[math]}$ ，于是，得 $\text{[math]}$ .

根据以上信息，解答下列问题：

①直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

②经计算可得： $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请猜想 $\text{[math]}$ 之间满足的数量关系，并给出证明.

【考点】

一元二次方程的根; 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【综合与实践】

【问题情境】对于关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （a ， b ， c为常数，且 $\text{[math]}$ ），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a ， b ， c之间具有一定的关系．

【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，则一元二次方程 $\text{[math]}$ 必有一根是1．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，则一元二次方程 $\text{[math]}$ 必有一根是－1．

请判断两个结论的真假，并说明原因．

(3) 【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：

方程 $\text{[math]}$ 的较大的根为p ，方程 $\text{[math]}$ 的较小的根为q ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通

2. 阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

材料2：已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为m ， n ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解： $\text{[math]}$ 一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为m ， n ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1) 材料理解：一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(2) 类比应用：已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根分别为m、n ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 思维拓展：已知实数s、t满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(4) 思维拔高：若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，相应的一元二次方程的两个根分别记为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．（直接写出答案）

实践探究题困难

3. 阅读理解题：

问题：已知方程x²+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．

解：设所求方程的根为y，则y=2x．

从而x= $\text{[math]}$

把x= $\text{[math]}$ 代人已知方程，得

( $\text{[math]}$ )²+ $\text{[math]}$ -1=0，

整理，得y²+2y-4=0，

因此，所求方程为y²+2y-4=0．

请你用上述思路解决下列问题：

(1) 已知方程x²+3x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；

(2) 已知关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

实践探究题普通