如图，已知正方形，，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转，．

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1. 如图，已知正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以顶点 $\text{[math]}$ 为直角顶点的等腰 $\text{[math]}$ 在正方形外部绕点 $\text{[math]}$ 旋转， $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的最大距离；

(2) 当 $\text{[math]}$ 最大时，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 在 $\text{[math]}$ 旋转过程中，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 存在交点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

三角形三边关系; 切线的性质; 圆的综合题; 求特殊角的三角函数值;

【答案】

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解答题普通

1. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为台面截线，半圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .水面截线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 如图（1）求水深 $\text{[math]}$ ；

(2) 将图（1）中的老碗先沿台面 $\text{[math]}$ 向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合，求此时最高点 $\text{[math]}$ 和最低点 $\text{[math]}$ 之间的距离 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时 $\text{[math]}$ ，求滚动过程中圆心 $\text{[math]}$ 运动的路径长.

解答题困难

2. 如图，等边△ABC中，AB=3，点O在AB的延长线上，OA=6，且∠AOE=30°，动点P从点O出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径作⊙P，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿折线B…C…A向点A运动，Q与A重合时，P、Q同时停止运动，设P的运动时间为t秒．

（1）当△POB是直角三角形时，求t的值；

（2）当⊙P过点C时，求⊙P与线段OA围成的封闭图形的面积；

（3）当⊙P与△ABC的边所在直线相切时，求t的值；

（4）当线段OQ与⊙P只有一个公共点时，直接写出t的取值范围．

解答题困难

3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于图形P，图形 $\text{[math]}$ 和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为 $\text{[math]}$ ．若图形P与图形 $\text{[math]}$ 均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．

(1) 如图，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．

①已知图形 $\text{[math]}$ 是半径为2的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半径为1的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半径为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，线段 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“弱相关图形”是：；

②已知 $\text{[math]}$ 的半径为2，若 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“弱相关图形”，求b的取值范围；

(2) 在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点 $\text{[math]}$ ，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的 $\text{[math]}$ 是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．

解答题困难