已知：如图1，是的内接三角形，且，点是弧上一动点，连接交弦于点，点在弦上，且．

1. 已知：如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接三角形，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是弧 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 交弦 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在弦 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求直径 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，保持点 $\text{[math]}$ 位置不变，调整点 $\text{[math]}$ 的位置使得直线 $\text{[math]}$ 经过圆心 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，使得 $\text{[math]}$ 成立的所有点 $\text{[math]}$ 中，有一个点的位置始终不变，试在图中找出这个点 $\text{[math]}$ ，并说明理由．

【考点】

圆的综合题; 相似三角形的判定与性质; 已知正切值求边长;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，直径 $\text{[math]}$ 垂直弦 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （不与点 $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 若 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 的度数，并证明你的结论．

综合题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条直径， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题困难

3. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，记 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 时，求t的值；

②求t的最大值．

(3) 当 $\text{[math]}$ 为直径时，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，满足以下条件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ （m，n均为正整数）；求 $\text{[math]}$ 的半径r的值．

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