如图，在三棱锥中，平面是以为直径的圆周上的一点，分别是上的动点，且平面，二面角的大小为.

1. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直径的圆周上的一点， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(3) 当直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角最大时，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

直线与平面平行的性质; 直线与平面垂直的判定; 直线与平面所成的角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， M为 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 平面ABM；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是正三角形，P为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，求BP与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．

解答题困难

2. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

解答题普通

3. 等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为3，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且满足 $\text{[math]}$ （如图1）．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使二面角 $\text{[math]}$ 成直二面角，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （如图2）．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长，若不存在，请说明理由．

解答题普通