已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 有唯一的极值点；

(3) 若对于任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

导数的四则运算; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究函数最大（小）值; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数， $\text{[math]}$ ）.

(1) 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极值，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均存在极值点，且函数 $\text{[math]}$ 的极值点均大于 $\text{[math]}$ 的极值点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

(1) 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间.

(3) 若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 存在唯一的整数解，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 的单调性，并求出 $\text{[math]}$ 的极值；

(2) 设函数 $\text{[math]}$ ，讨论函数 $\text{[math]}$ 的零点个数.

解答题普通