在中，已知，，，为线段BC上一个动点．

1. 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段BC上一个动点．

(1) 若AD为 $\text{[math]}$ 的角平分线，求线段AD的长；

(2) 将 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，记二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ．

i）若 $\text{[math]}$ ，且AD为 $\text{[math]}$ 的角平分线，求三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的面积；

ii）若 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的面积最小值．

【考点】

球的表面积与体积公式及应用; 同角三角函数间的基本关系; 正弦定理; 余弦定理;

【答案】

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解答题困难

1. 球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球 $\text{[math]}$ ，过球面上一点 $\text{[math]}$ 作两条大圆的弧 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它们构成的图形叫做球面角，记作 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ ），其值为二面角 $\text{[math]}$ 的大小，点 $\text{[math]}$ 称为球面角的顶点，大圆弧 $\text{[math]}$ 称为球面角的边.不在同一大圆上的三点 $\text{[math]}$ ，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 $\text{[math]}$ ，这三条劣弧组成的图形称为球面 $\text{[math]}$ ，这三条劣弧称为球面 $\text{[math]}$ 的边， $\text{[math]}$ 三点称为球面 $\text{[math]}$ 的顶点；三个球面角 $\text{[math]}$ 称为球面 $\text{[math]}$ 的三个内角.

已知球心为 $\text{[math]}$ 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点 $\text{[math]}$ ．

(1) 球面 $\text{[math]}$ 的三条边长相等（称为等边球面三角形），若 $\text{[math]}$ ，求球面 $\text{[math]}$ 的内角和；

(2) 类比二面角，我们称从点 $\text{[math]}$ 出发的三条射线 $\text{[math]}$ 组成的图形为三面角，记为 $\text{[math]}$ .

其中点 $\text{[math]}$ 称为三面角的顶点， $\text{[math]}$ 称为它的棱， $\text{[math]}$ 称为它的面角. 若三面角 $\text{[math]}$ 的三个面角的余弦值分别为 $\text{[math]}$ .

（ⅰ）求球面 $\text{[math]}$ 的三个内角的余弦值；

（ⅱ）求球面 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题困难

2. 已知球 $\text{[math]}$ 的半径为5.

(1) 求球 $\text{[math]}$ 的表面积；

(2) 若球 $\text{[math]}$ 有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.

解答题普通

3. 如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是 $\text{[math]}$ ，如图所示，俯视图是一个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形．

(1) 求该几何体的表面积；

(2) 求该几何体的外接球的体积．

解答题普通