定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”．

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1. 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 叫作“等补四边形”．

(1) 概念理解

①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（）

A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

②等补四边形 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

③如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是等补四边形．

(2) 探究发现

如图2，在等补四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否平分 $\text{[math]}$ ？请说明理由．

(3) 拓展应用

如图3，在等补四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，其外角 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 角平分线的判定; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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证明题普通

1. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

证明题普通

2. 同学们还记得吗？图①是我们研究过的湘教版八年级上册教材P99第16题“已知，如图在等腰三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上求证： $\text{[math]}$ ”的图形；图②是我们研究过的湘教版九年级上册教材 $\text{[math]}$ 第2题“如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．”的图形，受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1) 【问题一】受图①启发，兴趣小组画出了图③，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 又是正方形 $\text{[math]}$ 的一个顶点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为_________；

(2) 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图④：直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 经过正方形 $\text{[math]}$ 的对称中心 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若正方形 $\text{[math]}$ 边长为8，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图⑤：正方形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，说明理由．

证明题困难

3. 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断： $\text{[math]}$ 的值为　　：

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2 $\text{[math]}$ ，则BC=　　．

证明题困难