如图 1，中， . 的垂直平分线分别交于点平分 .

1. 如图 1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 的垂直平分线分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 2，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，旋转角为 $\text{[math]}$ . 连接 $\text{[math]}$

①求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时旋转角 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由；

②当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，请直接写出旋转角 $\text{[math]}$ 的度数.

【考点】

相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 综合与实践

问题情境：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 猜想验证：

试猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相似？并证明你的猜想．

(2) 探究证明：

如图，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点G， $\text{[math]}$ 是否成立？并说明理由．

(3) 拓展延伸：

若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

3. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

(1) 已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长；

(2) 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；

(3) 如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 $\text{[math]}$ 的值。

综合题困难