【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题：将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，，点在内，连接BF并延长到点，使BF，连接BD，CD，DE．探究线段DE与CD的关系．【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点作BG平行DE交DF的延长线于点，这样可以将证明DE和CD的关系转化为BG和CD的关系：“善思小组”的解题思路：结合为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作BH平行DF交ED延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系．

1.

【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题：

将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内，连接BF并延长到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ BF，连接BD，CD，DE．探究线段DE与CD的关系．

【思路探究】

“勤学小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点 $\text{[math]}$ 作BG平行DE交DF的延长线于点 $\text{[math]}$ ，这样可以将证明DE和CD的关系转化为BG和CD的关系：

“善思小组”的解题思路：结合 $\text{[math]}$ 为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点 $\text{[math]}$ 作BH平行DF交ED延长线于点 $\text{[math]}$ ，从而借助三角形中位线性质，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系．

(1) 请你写出线段DE与CD的关系并证明（写出一种方法即可）；

(2) 【思维训练】

王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：

如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为AB上一点，将CD绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到CE，连接BE，DE，O为DE中点，连接BO并延长交CD的延长线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，探究OF，OB，BE之间的数量关系，并说明理由；

(3) “【能力提升】

创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE，若F为平面内一点， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，其他条件不变，请直接写出AD的值．

【考点】

平移的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“双等腰四边形”。

(1) 如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，E是BD的中点，连结AE，CE.

①试判断四边形ABCE是否为“双等腰四边形”，并说明理由.

②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数.

(2) 如图②，E是矩形ABCD内一点，F是边CD上一点，四边形AEFD是“双等腰四边形”，且AD=DE.延长AE交BC于点G，连结FG.若AD=5， $\text{[math]}$ 求AB的长。

实践探究题困难

2. 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E，F在边AB上 $\text{[math]}$ ，且点C，D，G，H在直线AB的同侧；第二步，设置 $\text{[math]}$ ，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点 $\text{[math]}$ ，射线OH与射线AD相交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），射线OG与射线BC相交于点 $\text{[math]}$ （点Q，C不重合），观测DP，CQ的长度.

(1) 如图2，小丽取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑动矩形EFGH，当点E，A重合时，CQ=.

(2) 小丽滑动矩形EFGH，使得О恰为边AB的中点.她发现对于任意的m≠n，DP=CQ总成立.请说明理由.

(3) 经过数次操作，小丽猜想，设定m，n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP=CQ总成立.小丽的猜想是否正确？请说明理由.

实践探究题困难

(1) 问题背景：如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．

(2) 尝试应用：如图2，在▱ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出cos∠AFE的值．

实践探究题困难