【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”．

1. 【定义】如果两个角的差为 $\text{[math]}$ ，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．

例如： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互为“黄金角”，即 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“黄金角”， $\text{[math]}$ 也是 $\text{[math]}$ 的“黄金角”．

(1) 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互为“黄金角”，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互余，则 $\text{[math]}$ _____；

(2) 如图1所示，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点．

①若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互为“黄金角”，则 $\text{[math]}$ ______；

②如图2所示，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“黄金角”，求 $\text{[math]}$ 的度数；

③如图3所示， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互为“黄金角”时，则 $\text{[math]}$ ______．

【考点】

余角、补角及其性质; 平行线的性质; 三角形内角和定理; 角平分线的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 【学科融合】运用数学知识可以理解物理学中的很多原理．下面是物理学中“光的反射定律”的相关内容．请阅读并回答下面问题：

经过入射点О并垂直于反射面的直线 $\text{[math]}$ 叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图）．根据上面的探究活动，可以归纳出如下的规律：

在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．

这就是光的反射定律（ $\text{[math]}$ ）．

【理解原理】

（1）小聪发现，光线经过反射面时 $\text{[math]}$ ，其中的数学原理是_________________________．

（2）利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图1是潜望镜工作原理示意图， $\text{[math]}$ 是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线EF为什么和离开潜望镜的光线GH是平行的？（请把证明过程补充完整）

理由：∵ $\text{[math]}$ (已知)．

∴ ．

∵ $\text{[math]}$ (已知)，

∴ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ，

即：．

∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ( )．

【尝试探究】

（3）如图2，改变两平面镜 $\text{[math]}$ 之间的位置，若镜子 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，经过两次反射后， $\text{[math]}$ ，仍可以使入射光线 $\text{[math]}$ 与反射光线 $\text{[math]}$ 平行但方向相反．求α的度数．

【拓展应用】

（4）两块平面镜 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，入射光线 $\text{[math]}$ 经过两次反射，得到反射光线 $\text{[math]}$ ，如图3，光线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O，请直接写 $\text{[math]}$ （结果用含α的式子表示）．