如图，锐角三角形内接于，，点为劣弧的中点，点在劣弧上不与点，重合，连接并延长，与延长线交于点，连接，与交于点，与交于点．

1. 如图 $\text{[math]}$ ，锐角三角形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为劣弧 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在劣弧 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 延长线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积之比．

【考点】

勾股定理; 垂径定理; 圆的综合题; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，AC是 $\text{[math]}$ 的直径，BC是 $\text{[math]}$ 的切线，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为BC边上一点，AE交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接DF并延长交BC于点 $\text{[math]}$ ，连接CF.

(1) 写出图中一个与∠CFD互补的角；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，探究线段AC，CE，AB之间的数量关系，并说明理由.

综合题普通

2. 如图，在圆内接四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 求证：① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ．

综合题困难

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点O在射线AC上（点O不与点A重合），过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径画半圆O，分别交射线AC于E、F两点，设OD=x.

(1) 如图1，当点O为AC边的中点时，求x的值；

(2) 如图2，当点O与点C重合时，连接DF，求弦DF的长；

(3) 当半圆O与BC无交点时，直接写出x的取值范围．

综合题困难