如图所示，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，质量为m的金属棒ab垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L的正方形cdef区域内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B随时间的变化关系均为B=kt（SI），k为常数（k＞0）。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导轨的总电阻为R。t=0时，对ab施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，整个运动过程中ab与两边导轨接触良好。已知ab与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不计空气阻力，两磁场互不影响。

1. 如图所示，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，质量为m的金属棒ab垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L的正方形cdef区域内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B随时间的变化关系均为B=kt（SI），k为常数（k＞0）。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导轨的总电阻为R。t=0时，对ab施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，整个运动过程中ab与两边导轨接触良好。已知ab与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不计空气阻力，两磁场互不影响。

(1) 求通过面积 S_cdef的磁通量大小随时间 t 变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出 ab 中电流的方向；

(2) 求 ab 所受安培力的大小随时间 t 变化的关系式；

(3) 求经过多长时间，对 ab 所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。

【考点】

闭合电路的欧姆定律; 法拉第电磁感应定律; 导体切割磁感线时的感应电动势;

【答案】

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综合题困难

1. 为了模拟竹蜻蜓玩具闪闪发光的效果，某同学设计了如图甲所示的电路。半径为a的导电圆环内等分为四个直角扇形区域，Ⅰ、Ⅱ区域内存在垂直环面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。长度为a、电阻为r的导体棒OP以角速度 $\text{[math]}$ 绕O点逆时针匀速转动，t=0时OP 经过图示位置。OP通过圆环和导线与导通电阻为R的发光二极管（LED）相连。忽略其它电阻。

(1) 求OP切割磁感线过程中，通过二极管的电流大小和方向；

(2) 在图乙中作出 $\text{[math]}$ 时间内通过二极管的电流随时间变化的图像（规定从M到N 为正方向，不用写分析和计算过程）。

综合题普通

2. 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t均匀变化。正方形硬质金属框abcd放置在磁场中，金属框平面与磁场方向垂直，电阻 $\text{[math]}$ ，边长 $\text{[math]}$ 。求

(1) 在 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 时间内，金属框中的感应电动势E；

(2) $\text{[math]}$ 时，金属框ab边受到的安培力F的大小和方向；

(3) 在 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 时间内，金属框中电流的电功率P。

综合题普通

3. 某同学设计了一种可测速的跑步机，测速原理如图所示，该跑步机底面固定有间距为L、长度为d的平行金属电极。电极间充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且接有量程为0~U_m的电压表（内阻很大）和阻值为R的电阻，绝缘橡胶带上镀有间距为d的平行细金属条，每根金属条的电阻为r，磁场中始终仅有一根金属条，且与电极接触良好，求：

(1) 此跑步机可测量的橡胶带运动速率的最大值v_m

(2) 电压表的示数恒为 $\text{[math]}$ 时，一根金属条经过磁场区域克服安培力做的功W。

综合题普通