如图所示，我国发射的“天问一号”携带的“祝融号”火星车已成功着陆火星，为减小沾在火星车太阳能板上的尘土对火星车的影响，“祝融号”火星车的太阳能板可以像蝴蝶一样扇动翅膀。若在扇动太阳能板时，沾在太阳能板边缘、距火星地面高度为的某块尘土无初速下落，经过时间落在地面上。已知引力常量为，火星可视为半径为、质量分布均匀的球体，忽略火星大气的影响。求：

1. 如图所示，我国发射的“天问一号”携带的“祝融号”火星车已成功着陆火星，为减小沾在火星车太阳能板上的尘土对火星车的影响，“祝融号”火星车的太阳能板可以像蝴蝶一样扇动翅膀。若在扇动太阳能板时，沾在太阳能板边缘、距火星地面高度为 $\text{[math]}$ 的某块尘土无初速下落，经过时间 $\text{[math]}$ 落在地面上。已知引力常量为 $\text{[math]}$ ，火星可视为半径为 $\text{[math]}$ 、质量分布均匀的球体，忽略火星大气的影响。求：

(1) 火星的质量；

(2) 火星的第一宇宙速度。

【考点】

自由落体运动; 万有引力定律的应用; 第一、第二与第三宇宙速度; 卫星问题;

【答案】

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计算题普通

1. “MarsOne”研究所推出了2025年让志愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划。如果让小球从火星上一定高度自由下落，测得它在第 $\text{[math]}$ 内的位移是 $\text{[math]}$ ，已知火星的半径约为地球半径的 $\text{[math]}$ ，地球表面的重力加速度g取 $\text{[math]}$ ，求：

(1) 火星表面的重力加速度 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 火星质量 $\text{[math]}$ 和地球质量M之比；

(3) 火星的第一宇宙速度 $\text{[math]}$ 和地球第一宇宙速度 $\text{[math]}$ 之比。

计算题普通

2. “嫦娥三号”在反推火箭作用下慢慢下降，在距离月球表面h＝4.0m的高度处再次悬停，最后关掉发动机，自由下落到月球表面，实现软着陆。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.6倍，试计算“嫦娥三号”着陆时的速度大小v？（结果取二位有效数字）

计算题普通

3. 某恒星的两颗行星P、Q在同一轨道平面沿同一方向绕恒星做匀速圆周运动，行星Q的轨道半径为行星P的轨道半径的4倍.

(1) 求P、Q两行星的运行周期之比 $\text{[math]}$ ；

(2) 若某时刻两行星和恒星正好在一条直线上，求两行星再次与恒星在一条直线上所需的最小时间与P行星周期的比值k

计算题普通