某恒星的两颗行星P、Q在同一轨道平面沿同一方向绕恒星做匀速圆周运动，行星Q的轨道半径为行星P的轨道半径的4倍.

1. 某恒星的两颗行星P、Q在同一轨道平面沿同一方向绕恒星做匀速圆周运动，行星Q的轨道半径为行星P的轨道半径的4倍.

(1) 求P、Q两行星的运行周期之比 $\text{[math]}$ ；

(2) 若某时刻两行星和恒星正好在一条直线上，求两行星再次与恒星在一条直线上所需的最小时间与P行星周期的比值k

【考点】

万有引力定律的应用;

【答案】

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计算题普通

1. 已知地球自转的角速度为 $\text{[math]}$ ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g。一颗在赤道上空运行的人造地球同步卫星公转方向与地球自转方向相同。求：

(1) 地球的第一宇宙速度大小；

(2) 该人造地球同步卫星绕地球转动的周期T和离地面的高度H；

计算题普通

2. 2024年4月8日，世界各地人们都在关注罕见的“日全食”现象，对太阳产生了浓厚的兴趣。若已知地球表面的重力加速度为g ，地球赤道上1°圆心角所对应的弧长为l ，地球上观测者看到太阳的视角为θ（把地球视为质点，如图所示），地球到太阳的距离为r ，地球绕太阳运动的公转周期为T ，已知万有引力常数为G ，求：

(1) 地球的平均密度；

(2) 太阳的平均密度；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ km， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ s， $\text{[math]}$ ，估算太阳与地球的平均密度之比。（结果保留一位有效数字）

计算题普通

3. 2024年4月下旬，我国神舟十八号载人飞船将3名宇航员送入中国空间站“天宫”，与神舟十七号宇航员进行交接．飞船进入空间站前需先进入近地轨道（绕行半径约为地球半径），再通过变轨进入空间站轨道．已知近地轨道和空间站轨道均为圆周轨道，地球半径为R ，空间站高度为h ，地球表面重力加速度为g ，试求：

(1) 神舟十八号在近地轨道时的运行速度；

(2) 神舟十八号在空间站时的运行周期．

计算题普通