对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线mx轴，过点B作直线ny轴，直线m，n相交于点C．当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A 的等距点，称三角形ABC的面积为点A的等距面积．例如：如图，点A(2，1)，点B(5，4)，因为AC=BC=3，所以点B为点A 的等距点，此时点A的等距面积为．

1. 对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m $\text{[math]}$ x轴，过点B作直线n $\text{[math]}$ y轴，直线m，n相交于点C．当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A 的等距点，称三角形ABC的面积为点A的等距面积．例如：如图，点A(2，1)，点B(5，4)，因为AC=BC=3，所以点B为点A 的等距点，此时点A的等距面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 点A的坐标是(0，1)，在点B₁(-1，0)，B₂(2，3)，B₃(-1，-1)中，点A 的等距点为；

(2) 点A的坐标是(-3，1)，点A的等距点B在第三象限，

①若点B的坐标是 $\text{[math]}$ ，求此时点A的等距面积；

②若点A的等距面积不小于 $\text{[math]}$ ，求此时点B的横坐标t的取值范围．

【考点】

坐标与图形性质; 等腰三角形的判定与性质; 三角形相关概念;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，0），B（5，0），D（2，7），连接AD，交y轴于点C．

（1）点C的坐标为　　；

（2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发，也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动），设从出发起运动了x秒．

①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标；

②当x＝2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标，若不存在，说明理由？

（3）在（2）的条件下，在点P、Q运动过程中，过点Q作x轴的平行线GF（点G、F分别位于y轴的左、右两侧），∠GQP与∠APQ的角平分线交于点M，则∠PMQ的大小会随点P、Q的运动而变化吗？如果不变化，请求出∠PMQ的度数：若发生变化，请说明理由．

解答题普通

2. 如图，在坐标系中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标与点 $\text{[math]}$ 的横坐标的比为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 动点 $\text{[math]}$ 从原点出发，沿 $\text{[math]}$ 轴正方向以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度运动，同时动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 轴负方向以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度运动，运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 的面积，并写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 在（ $\text{[math]}$ ）的条件下，当 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 的面积的一半时，求出 $\text{[math]}$ 的值及点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题普通

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为边，在 $\text{[math]}$ 轴上方作正方形 $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位长度的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动．设点 $\text{[math]}$ 运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，三角形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，回答下列问题：

(1) 点 $\text{[math]}$ 的坐标为______；当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的长度为______．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，三角形 $\text{[math]}$ 的面积为；

(3) 求点 $\text{[math]}$ 运动过程中三角形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 和运动时间 $\text{[math]}$ 之间数量关系．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ）

(4) 当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通