如图，是等腰直角三角形，，，线段可绕点在平面内旋转，．

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1. 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 可绕点 $\text{[math]}$ 在平面内旋转， $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 旋转过程中，当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点在同一直线上时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，若将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①当点 $\text{[math]}$ 的位置由 $\text{[math]}$ 外的点 $\text{[math]}$ 转到其内的点 $\text{[math]}$ 处，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

②如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 在平面内旋转，分别取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 面积 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 三角形全等的判定-SAS; 三角形的中位线定理;

【答案】

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解答题困难

1. 问题提出

（1）如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为______；

问题探究

（2）如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点，P是边 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的最小值；

问题解决

（3）王叔叔家有一块四边形菜地ABCD，如图③所示，已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，为了种植方便，王叔叔打算分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上取点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 并沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 修三条人行通道，已知铺设人行通道的成本为100元/米，求铺设完这三条人行通道所需的最低成本．（路面宽度忽略不计）