如图，矩形，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，G为中点，连接．

1. 如图，矩形 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E．过点D作 $\text{[math]}$ 于F，G为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 平行四边形的判定与性质; 矩形的性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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证明题普通

1. 在学习矩形的过程中，小明发现将矩形 $\text{[math]}$ 折叠，使得点B与点D重合，所得折痕在 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上，折痕平分矩形的面积．他想对此折痕平分矩形的面积进行证明．他的思路是首先作出线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，通过三角形全等的证明，将折痕左侧的四边形的面积转化为三角形的面积，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：用直尺和圆规，作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，交 $\text{[math]}$ 于点N，垂足为点O．

∵四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，

∴① ，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∵② ，

∴③ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴④ ，

即 $\text{[math]}$ 平分矩形 $\text{[math]}$ 的面积．

证明题普通

2. 如图，已知在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ．

证明题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D ，延长DC到点E ，使 $\text{[math]}$ ．过点E作 $\text{[math]}$ 交AC的延长线于点F ，连接AE ， DF ．

(1) 求证：四边形ADFE是平行四边形；

(2) 过点E作 $\text{[math]}$ 于点G ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则EG的长为．

证明题普通