某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为．

1. 某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为 $\text{[math]}$ ．

(1) 在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：

水平距离x/m	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
竖直高度y/m	2.25	2.8125	3	2.8125	2.25	1.3125	0

根据表格中的数据，解答下列问题：

①水管的长度是__________m；

②求出y与x满足的函数解析式 $\text{[math]}$ ；

(2) 安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：

①不改变喷水头的角度，将水管长度增加 $\text{[math]}$ ；

②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足 $\text{[math]}$ ．若要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出a的值．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-喷水问题;

【答案】

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解答题普通

1. 某市护城河管理部门为了提高市民的休闲与运动质量，增强锻炼的幸福感，计划在护城河里修建小喷泉，具体方案如下：在水面下适当的地方设置一个圆柱形柱子，在柱子顶端处安装一个喷水头向外喷水，从而形成小喷泉．经过实践发现，小喷泉水流形成抛物线，喷水口高出水面 $\text{[math]}$ 米，当落水点距喷水口的水平距离为 $\text{[math]}$ 米时，喷泉水流达到最高点处，距水面 $\text{[math]}$ 米．以水面所在位置为 $\text{[math]}$ 轴，喷水头所在直线为 $\text{[math]}$ 轴建立平面直角坐标系，则水流距离水面的高度 $\text{[math]}$ 与水流距喷水头的水平距离 $\text{[math]}$ 之间的关系图象如图所示．

(1) 请求出在第一象限内喷泉水流形成的抛物线的函数表达式；

(2) 喷泉喷出的水流落在水面上形成一个圆，忽略其他因素，若喷水头向上平移 $\text{[math]}$ 米，则喷水头的水流落在水面上形成的圆的面积会增大多少？（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题普通

2. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 $\text{[math]}$ 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口 $\text{[math]}$ 离地竖直高度为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 $\text{[math]}$ ，其水平宽度 $\text{[math]}$ ，竖直高度为 $\text{[math]}$ 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 $\text{[math]}$ 离喷水口的水平距离为 $\text{[math]}$ ，高出喷水口 $\text{[math]}$ ，灌溉车到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 $\text{[math]}$ ；

②求下边缘抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交点 $\text{[math]}$ 的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ ．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

3. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 $\text{[math]}$ ，其水平宽度 $\text{[math]}$ ，竖直高度为 $\text{[math]}$ 的长，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口 $\text{[math]}$ ，灌溉车到l的离 $\text{[math]}$ 为d（单位：m）．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 $\text{[math]}$ ；

(2) 求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的标；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，灌溉车行驶时喷出的水________（填“能”与“不能”）浇灌到整个绿化带；

(4) 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难