某市护城河管理部门为了提高市民的休闲与运动质量，增强锻炼的幸福感，计划在护城河里修建小喷泉，具体方案如下：在水面下适当的地方设置一个圆柱形柱子，在柱子顶端处安装一个喷水头向外喷水，从而形成小喷泉．经过实践发现，小喷泉水流形成抛物线，喷水口高出水面米，当落水点距喷水口的水平距离为米时，喷泉水流达到最高点处，距水面米．以水面所在位置为轴，喷水头所在直线为轴建立平面直角坐标系，则水流距离水面的高度与水流距喷水头的水平距离之间的关系图象如图所示．

1. 某市护城河管理部门为了提高市民的休闲与运动质量，增强锻炼的幸福感，计划在护城河里修建小喷泉，具体方案如下：在水面下适当的地方设置一个圆柱形柱子，在柱子顶端处安装一个喷水头向外喷水，从而形成小喷泉．经过实践发现，小喷泉水流形成抛物线，喷水口高出水面 $\text{[math]}$ 米，当落水点距喷水口的水平距离为 $\text{[math]}$ 米时，喷泉水流达到最高点处，距水面 $\text{[math]}$ 米．以水面所在位置为 $\text{[math]}$ 轴，喷水头所在直线为 $\text{[math]}$ 轴建立平面直角坐标系，则水流距离水面的高度 $\text{[math]}$ 与水流距喷水头的水平距离 $\text{[math]}$ 之间的关系图象如图所示．

(1) 请求出在第一象限内喷泉水流形成的抛物线的函数表达式；

(2) 喷泉喷出的水流落在水面上形成一个圆，忽略其他因素，若喷水头向上平移 $\text{[math]}$ 米，则喷水头的水流落在水面上形成的圆的面积会增大多少？（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-喷水问题;

【答案】

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解答题普通

1. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 $\text{[math]}$ 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口 $\text{[math]}$ 离地竖直高度为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 $\text{[math]}$ ，其水平宽度 $\text{[math]}$ ，竖直高度为 $\text{[math]}$ 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 $\text{[math]}$ 离喷水口的水平距离为 $\text{[math]}$ ，高出喷水口 $\text{[math]}$ ，灌溉车到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 $\text{[math]}$ ；

②求下边缘抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交点 $\text{[math]}$ 的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ ．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

2. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 $\text{[math]}$ ，其水平宽度 $\text{[math]}$ ，竖直高度为 $\text{[math]}$ 的长，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口 $\text{[math]}$ ，灌溉车到l的离 $\text{[math]}$ 为d（单位：m）．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 $\text{[math]}$ ；

(2) 求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的标；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，灌溉车行驶时喷出的水________（填“能”与“不能”）浇灌到整个绿化带；

(4) 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为 $\text{[math]}$ ．

(1) 在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：

水平距离x/m	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
竖直高度y/m	2.25	2.8125	3	2.8125	2.25	1.3125	0

根据表格中的数据，解答下列问题：

①水管的长度是__________m；

②求出y与x满足的函数解析式 $\text{[math]}$ ；

(2) 安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：

①不改变喷水头的角度，将水管长度增加 $\text{[math]}$ ；

②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足 $\text{[math]}$ ．若要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出a的值．

解答题普通