如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．

①当点P在直线BC的下方运动时，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数-动态几何问题;

【答案】

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解答题普通

1. 在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+ax+2a+1的图象经过点M（2，-3）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与二次函数y=x²+ax+2a+1的图象经过x轴上同一点，探究实数k，b满足的关系式；

（3）将二次函数y=x²+ax+2a+1的图象向右平移2个单位，若点P（x0，m）和Q（2，n）在平移后的图象上，且m＞n，结合图象求x0的取值范围．

解答题普通

2. 如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y₁= x²+ 2x + 2与y₂= x²- 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”．

（1）二次函数y = 2（x + 2）²+ 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为；二次函数y = a（x - h）²+ k的“关于y轴对称二次函数”解析式为；

（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．

（3）在第（2）题的情况下，如果M是两个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由.

解答题普通

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）．

(1) 若m=2，n= $\text{[math]}$ ，求该抛物线与x轴的两个交点之间的距离；

(2) 若抛物线过点 $\text{[math]}$ ，且对于抛物线上任意一点 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是这条抛物线上不同的两点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 将抛物线 $\text{[math]}$ 平移至顶点为 $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最大值．

解答题困难