【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：①如图，在中，若，，则有；②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知，若把①中的替换为，还能推出吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．小军小民证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得……证明：∵AD⊥BC，∴△ADB 与△ADC均为直角三角形根据勾股定理，得…… 【问题解决】

1. 【问题背景】

某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：

①如图，在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ；

②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得 $\text{[math]}$ ，即知 $\text{[math]}$ ，若把①中的 $\text{[math]}$ 替换为 $\text{[math]}$ ，还能推出 $\text{[math]}$ 吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出 $\text{[math]}$ ，并分别提供了不同的证明方法．

小军	小民
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得……	证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形根据勾股定理，得……

【问题解决】

(1) 完成①的证明；

(2) 把②中小军、小民的证明过程补充完整．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 三角形全等的判定-SAS; 相似三角形的判定-AA; 相似三角形的性质-对应角; 等腰三角形的性质-三线合一;

【答案】

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实践探究题困难

1. 问题发现：如图①， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结 $\text{[math]}$ ．填空：

(1) $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是．

(3) 拓展探究：

如图②， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点A，D，E在同一直线上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的高，连结 $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ 的度数及线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

实践探究题普通

【感知】如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA．

【探究】如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．

【拓展】如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE，若AF= $\text{[math]}$ CF=2BE，S_△ABF=6，求S_△BCD的大小．

实践探究题普通

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

(3)

【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难