将一个矩形和一个如图1放置，已知，，点是和的中点，将绕点顺时针旋转．

1. 将一个矩形 $\text{[math]}$ 和一个 $\text{[math]}$ 如图1放置，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，．请你判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由：

(2) 在（1）的基础上连接 $\text{[math]}$ ，通过探究发现，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 的值始终为定值，请你求出这个定值；

(3) 若将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，当 $\text{[math]}$ 时，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ，如图3，试直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

矩形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在边BC、CD上运动，连接AE，将射线AE绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，交直线CD于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 恰好与点 $\text{[math]}$ 重合时，则 $\text{[math]}$ 度；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接DG.

①如图2，当F落在线段CD上时．求 $\text{[math]}$ 的度数；

②如图3，当 $\text{[math]}$ 落在线段CD的延长线上且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ ．

综合题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .动点 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位的速度从点 $\text{[math]}$ 出发，沿着 $\text{[math]}$ 的方向运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，运动停止.点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 是否存在这样的 $\text{[math]}$ 值，使得平行四边形 $\text{[math]}$ 为菱形?若存在，请求出 $\text{[math]}$ 值；若不存在，请说明理由.

综合题困难

3. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通