某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图1所示，其中支架米，米，两种支架各用了200根．为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元．

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1. 某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，另一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，其横截面有2根支架 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，相关数据如图1所示，其中支架 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，两种支架各用了200根．

为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元．

(1) 分别以 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．

①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式；

②求出改造前大棚的最大高度；

(2) 只考虑经费情况下，求出 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 一次函数的性质; 二次函数的实际应用-拱桥问题;

【答案】

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综合题困难

1. 2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式 $\text{[math]}$ ．

(1) 在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：

水平距离 $\text{[math]}$	3	3.5	4	4.5
竖直高度 $\text{[math]}$	10	__________	__________	6.25

①求抛物线的解析式．

②补全表格．

(2) 信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 之间满足 $\text{[math]}$ ．

信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要 $\text{[math]}$ 的时间才能完成极具难度的跳水动作．

①请通过计算说明，在（1）的这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？

②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 的关系为 $\text{[math]}$ ．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是__________ ．

综合题普通

2. 小明周末来到小湖边玩打水漂的游戏，打出的水漂呈抛物线形状．小明站在岸边向湖中抛出一个石片，石片在距离小明 $\text{[math]}$ 远的水面重新弹了起来，当石片运动到距小明 $\text{[math]}$ 时，达到了最大高度 $\text{[math]}$ ，以小明所在的位置为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是石片距小明的水平距离， $\text{[math]}$ 是石片距水面的高度．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 若在距离小明 $\text{[math]}$ 的水面上有5艘小艇并排紧靠着，每艘小艇的高度为 $\text{[math]}$ ，宽度为 $\text{[math]}$ （小艇之间的间隙及浮力忽略不计），则石片在弹起运行的过程中，能否越过这5艘小艇重新落入水中？

综合题普通

3. 如图①，地面 $\text{[math]}$ 上两根等长立柱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间悬挂一根近似成抛物线 $\text{[math]}$ 的绳子．

(1) 求绳子最低点到地面的距离．

(2) 如图②，因实际需要，需用一根立柱 $\text{[math]}$ 撑起绳子．

①若在离 $\text{[math]}$ 的4米位置处用立柱 $\text{[math]}$ 撑起，使立柱左侧的抛物线的最低点距 $\text{[math]}$ 的距离为1米，离地面1.8米，求 $\text{[math]}$ 的长；

②将立柱 $\text{[math]}$ 来回移动，移动过程中，在一定范围内，总保持立柱 $\text{[math]}$ 左侧抛物线的形状不变，其函数表达式为 $\text{[math]}$ ，当抛物线最低点到地面距离为 $\text{[math]}$ 米时，求m的值．

综合题普通