【提出问题】小星学习二次函数后，查阅资料发现其中一个抛物线形门洞，门洞内的地面宽度为两侧距地面高处各有一盏灯．两灯间的水平距离为，未发现水泥门洞高度．他想知道这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米．【分析问题】数形结合思想是解决问题的重要思想．小星想到建立适当的平面直角坐标系．通过数据求出二次函数的表达式．利用表达式可以求得这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米．【解决问题】

1. 【提出问题】

小星学习二次函数后，查阅资料发现其中一个抛物线形门洞，门洞内的地面宽度为 $\text{[math]}$ 两侧距地面 $\text{[math]}$ 高处各有一盏灯．两灯间的水平距离为 $\text{[math]}$ ，未发现水泥门洞高度．他想知道这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米．

【分析问题】

数形结合思想是解决问题的重要思想．小星想到建立适当的平面直角坐标系．通过数据求出二次函数的表达式．利用表达式可以求得这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米．

【解决问题】

(1) 小星根据二次函数图象的性质建立了如图所示的平面直角坐标系．

①求出抛物线的函数表达式；

②这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米？

(2) 小星学习小组的小红发现，如果她家遥控飞机模型（如图）能飞过此门洞是非常有趣的一件事，飞机的机翼长（是指左右两侧翼尖之间的总长度）为 $\text{[math]}$ ，为保障飞行安全．飞机水平飞行时高度必须控制在多少米以下？

(3) 为了造型更加美观，小星决定改造一下门洞，重新设计抛物线，其表达式为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-拱桥问题;

【答案】

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综合题普通

1. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 $\text{[math]}$ 表示水平的路面，以 $\text{[math]}$ 为坐标原点，以 $\text{[math]}$ 所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴，以过点 $\text{[math]}$ 作垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线为 $\text{[math]}$ 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求 $\text{[math]}$ ，该抛物线的顶点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为9m．

(1) 求满足设计要求的抛物线的函数解析式；

(2) 现需在这一隧道内壁的同样高度的A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求A、B两个照明灯之间的水平距离为8m，求出此时A、B两个照明灯距离地面的高度．

综合题普通

2. 为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题．

【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为 $\text{[math]}$ ．

【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案：

方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有 $\text{[math]}$ 个连续花边组成的图案．

方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为 $\text{[math]}$ ．

【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：

(1) 求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式；

(2) 若采用研究步骤中的方案二进行设计，当 $\text{[math]}$ 时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数．

综合题普通

3. 如图1，这是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度 $\text{[math]}$ 为10米，拱桥顶面最高处到水面的距离为4米．建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ （米）是水平距离， $\text{[math]}$ （米）是拱桥距水面的高度．

(1) 求该抛物线的表达式．

(2) 现有一游船（截面为矩形 $\text{[math]}$ ），宽度 $\text{[math]}$ 为4米，顶棚到水面的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于 $\text{[math]}$ 米，请判断该游船能否安全通过此拱桥，并说明理由．

综合题普通