九重之际向天问，天宫掠影惊苍穹．“天宫”空间站中三名宇航员正环绕地球运行，与此同时，“天问”探测器在环绕火星运行，假设它们的运行轨道都是圆轨道，地球与火星的质量之比为p ， “天宫”与“天问”的轨道半径之比为．求：

1. 九重之际向天问，天宫掠影惊苍穹．“天宫”空间站中三名宇航员正环绕地球运行，与此同时，“天问”探测器在环绕火星运行，假设它们的运行轨道都是圆轨道，地球与火星的质量之比为p ， “天宫”与“天问”的轨道半径之比为 $\text{[math]}$ ．求：

(1) “天宫”空间站与“天问”探测器运行周期之比；

(2) “天宫”空间站与“天问”探测器环绕速度之比；

(3) “天宫”空间站与“天问”探测器加速度之比．

【考点】

万有引力定律的应用; 卫星问题;

【答案】

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计算题普通

1. 2023年7月12日，中国载人航天工程办公室副总师张海联披露，我国计划在2030年前实现载人登月。若宇航员在月球表面的h高处由静止释放一个小球，经过时间t小球落到月球表面，将月球视为质量均匀的球体，已知月球的半径为R，引力常量为G，问：

(1) 月球的密度是多少？

(2) 若在月球表面发射绕月球飞行的卫星，则最小的发射速度要达到多少？

计算题普通

2. 2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下中国人的印迹。天问一号探测器着陆火星前，在火星表面高h的圆轨道上稳定运行，已知火星半径约为地球半径的 $\text{[math]}$ ，火星质量约为地球质量的 $\text{[math]}$ ，地球表面重力加速度为g ，火星的半径为R ，万有引力常量为G。求：

(1) 火星的平均密度；

(2) 天问一号探测器在火星表面高h的圆轨道上运行的周期。

计算题普通

3. “嫦娥一号”探月卫星在空中运动的简化示意图如图所示。卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入“工作轨道”。探月卫星在环绕月球的“工作轨道”上绕月飞行（视为圆周运动），飞行周期为T ，距月球表面的高度为h ，月球半径为R ，引力常量为G ，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响。

(1) 求月球质量；

(2) 求月球表面的重力加速度；

(3) 求月球的第一宇宙速度。

计算题普通