在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 ， D为BC的中点，E ， F分别为AC ， AD上任意一点，连接EF ，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG ，连接FG ， AG ．

1. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 $\text{[math]}$ ， D为BC的中点，E ， F分别为AC ， AD上任意一点，连接EF ，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG ，连接FG ， AG ．

(1) 如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B ，若点P为FG的中点，连接PD ，求PD的长；

(2) 如图2，EF的延长线交AB于点M ，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF ，求证：AM+AF $\text{[math]}$ AE；

【考点】

勾股定理; 旋转的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS; 三角形全等的判定-AAS; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”如图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ．（不考虑两人身高，点G、C、B在同一水平线上）

(1) 求小明与小亮之间的距离 $\text{[math]}$ ．

(2) 若风筝A在小明的北偏东45方向上，且高度 $\text{[math]}$ 为30米， $\text{[math]}$ ，求此时风筝A到小亮的距离 $\text{[math]}$ ．

综合题普通

2. 学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．

报告	测量风筝的垂直高度 $\text{[math]}$
成员	组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
工具	皮尺等
示意图
方案	先测量水平距离 $\text{[math]}$ ，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长 $\text{[math]}$ ，最后测量放风等的同学的身高 $\text{[math]}$
数据	$\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米
评价

(1) 求此时风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 若站在点A不动，想把风不沿 $\text{[math]}$ 方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？

综合题普通

3. 如图，某村庄 $\text{[math]}$ 到公路 $\text{[math]}$ 之间有一池塘相隔，村民出行都是走 $\text{[math]}$ 这条村级公路．在美丽乡村建设过程中，为了便于村民出行，村委会治理了池塘并从 $\text{[math]}$ 到公路 $\text{[math]}$ 之间架桥新修了一条公路 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ．

(1) 求新修的公路 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 在后期的建设中，村委会在 $\text{[math]}$ 之间修建了一个观光亭 $\text{[math]}$ ，使得观光亭 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离与观光亭 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离相等，求观光亭 $\text{[math]}$ 到村庄 $\text{[math]}$ 的距离．

综合题普通