材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为 “连续合数”，如，因此这三个数都是“连续合数”．材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为 “行知数”．例如：在自然数 231 和 132 中，，则 231 和 132 都是“行知数”；在自然数 396 和 693 中，，则 396 和 693 都是 “行知数”．

1. 材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为 “连续合数”，如 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ 这三个数都是“连续合数”．
材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为 “行知数”．例如：在自然数 231 和 132 中， $\text{[math]}$ ，则 231 和 132 都是“行知数”；在自然数 396 和 693 中， $\text{[math]}$ ，则 396 和 693 都是 “行知数”．

(1) 请判断： 36“连续合数”．（填“是”或“不是”）

(2) 证明：任何一个“连续合数”一定是 4 的奇数倍．

(3) 已知三位数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为整数，且 $\text{[math]}$ ）既是 “连续合数”，又是 “行知数”，求所有符合条件的三位数的值．

【考点】

平方差公式及应用; 因式分解的应用; 不等式的性质的实际应用;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【观察】 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……

【猜想】比任意义个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除．

(1) 【验证】

若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除；

(2) 若设这个偶数为2n ，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除；

(3) 【延伸】

试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除．

实践探究题普通

2. 在当今时代，密码与我们的生活已经紧密联系在一起．有一种用 “因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式 $\text{[math]}$ 分解因式的结果为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，此时，可获得密码 171812 或 171218 或 181712 等．

根据上述方法，解答以下问题：

(1) 对于因式分解结果为 $\text{[math]}$ 的多项式，当 $\text{[math]}$ 时，用 “因式分解”法获得的密码为．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，对于多项式 $\text{[math]}$ ，用 “因式分解”法可以产生哪些数字密码？（求出四个即可）

(3) 已知多项式 $\text{[math]}$ 可分解因式成三个一次式，当 $\text{[math]}$ 时，用 “因式分解”法可以得到密码 202224 ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通

3. 若一个整数能表示成 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 是整数) 的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为 $\text{[math]}$ ，所以 13 是 “完美数”．再如，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是整数)，所以 $\text{[math]}$ 也是 “完美数”．

(1) 请直接写出一个小于 10 的“完美数”，这个“完美数”是

判断： 45 $\text{[math]}$ (请填写“是”或“不是”)“完美数”．

(2) 已知 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 是整数， $\text{[math]}$ 是常数)，要使 $\text{[math]}$ 为 “完美数”，试求出符合条件的一个 $\text{[math]}$ 值，并说明理由．

(3) 如果数 $\text{[math]}$ 都是 “完美数”， $\text{[math]}$ ，试说明 $\text{[math]}$ 也是 “完美数”．

实践探究题困难