若一个整数能表示成 ( 是整数) 的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以 13 是 “完美数”．再如，因为是整数)，所以也是 “完美数”．

1. 若一个整数能表示成 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 是整数) 的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为 $\text{[math]}$ ，所以 13 是 “完美数”．再如，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是整数)，所以 $\text{[math]}$ 也是 “完美数”．

(1) 请直接写出一个小于 10 的“完美数”，这个“完美数”是

判断： 45 $\text{[math]}$ (请填写“是”或“不是”)“完美数”．

(2) 已知 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 是整数， $\text{[math]}$ 是常数)，要使 $\text{[math]}$ 为 “完美数”，试求出符合条件的一个 $\text{[math]}$ 值，并说明理由．

(3) 如果数 $\text{[math]}$ 都是 “完美数”， $\text{[math]}$ ，试说明 $\text{[math]}$ 也是 “完美数”．

【考点】

因式分解的应用;

【答案】

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实践探究题困难

1. 在当今时代，密码与我们的生活已经紧密联系在一起．有一种用 “因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式 $\text{[math]}$ 分解因式的结果为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，此时，可获得密码 171812 或 171218 或 181712 等．

根据上述方法，解答以下问题：

(1) 对于因式分解结果为 $\text{[math]}$ 的多项式，当 $\text{[math]}$ 时，用 “因式分解”法获得的密码为．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，对于多项式 $\text{[math]}$ ，用 “因式分解”法可以产生哪些数字密码？（求出四个即可）

(3) 已知多项式 $\text{[math]}$ 可分解因式成三个一次式，当 $\text{[math]}$ 时，用 “因式分解”法可以得到密码 202224 ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通

2. 【发现】

任意五个连续整数的平方和是5的倍数.

【验证】

(1) $\text{[math]}$ 的结果是5的几倍?

(2) 设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明结果是5的倍数.

(3) 【延伸】
任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几?请说明理由.

实践探究题普通

3. 在当今的“互联网+”时代，有一种利用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式分解因式，如将多项式 $\text{[math]}$ 分解为(x -1)(x+1)(x+2).当x=19时，x-1=18，x+1=20，x+2=21，此时可得到数字密码 182021.

(1) 根据上述方法，当x=37，y=12时，对于多项式 $\text{[math]}$ 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)?

(2) 将多项式. $\text{[math]}$ 分解因式后，利用上述方法，当x=87时，可以得到数字密码 808890，求 m，n的值.

实践探究题普通