【问题情景】图1 图2 图3

1. 【问题情景】

图1 图2 图3

(1) 如图1，正方形ABCD中，点E是线段BC上一点（不与B ， C点重合），连接EA.将EA绕点E顺时针旋转90°得到EF ，连接CF ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路：

小聪：过点F作BC的延长线的垂线；小明：在AB上截取BM ，使得 $\text{[math]}$ ；

请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.

(2) 【类比探究】如图2，点E是菱形ABCD边BC上一点（不与B ， C点重合）， $\text{[math]}$ ，将EA绕点E顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到EF ，使得 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）.

①求 $\text{[math]}$ 的度数（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

②【学以致用】如图3，连接AF与CD相交于点G ，当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则BE的长为 ▲ .

【考点】

三角形全等及其性质; 菱形的性质; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1) 发现问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接BE，CF，延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系：， $\text{[math]}$ °；

(2) 类比探究：如图2，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由；

(3) 拓展延伸：如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作 $\text{[math]}$ ，垂足为点M.则BF，CF，AM之间的数量关系：；

(4) 实践应用：正方形ABCD中， $\text{[math]}$ ，若平面内存在点P满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

实践探究题困难

2. 根据要求回答问题：

【提出问题】

已知：菱形ABCD的变长为4，∠ADC=60°，△PEF为等边三角形，当点P与点D重合，点E在对角线AC上时（如图1所示），求AE+AF的值；

【类比探究】

在上面的问题中，如果把点P沿DA方向移动，使PD=1，其余条件不变（如图2），你能发现AE+AF的值是多少？请直接写出你的结论；

【拓展迁移】

在原问题中，当点P在线段DA的延长线上，点E在CA的延长线上时（如图3），设AP=m，则线段AE、AF的长与m有怎样的数量关系？请说明理由．

实践探究题普通

【感知】如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA．

【探究】如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．

【拓展】如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE，若AF= $\text{[math]}$ CF=2BE，S_△ABF=6，求S_△BCD的大小．

实践探究题普通