现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，各区边界均垂直于x轴，O为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m的粒子。如图，甲、乙平行于x轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为和。甲到P点时，乙刚好射入Ⅰ区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O点时，乙恰好到P点。已知Ⅲ区存在沿＋x方向的匀强电场，电场强度大小。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。

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1. 现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，各区边界均垂直于x轴，O为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m的粒子。如图，甲、乙平行于x轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 。甲到P点时，乙刚好射入Ⅰ区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O点时，乙恰好到P点。已知Ⅲ区存在沿＋x方向的匀强电场，电场强度大小 $\text{[math]}$ 。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。

(1) 求磁感应强度的大小B；

(2) 求Ⅲ区宽度d；

(3) Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴，电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为 $\text{[math]}$ ，其中常系数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 已知、k未知，取甲经过O点时 $\text{[math]}$ 。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F与Δx间的关系式（不要求写出Δx的取值范围）

【考点】

带电粒子在电场与磁场混合场中的运动;

【答案】

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综合题困难

1. 质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为 $\text{[math]}$ ，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为 $\text{[math]}$ ，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为 $\text{[math]}$ ，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示．

(1) 粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。

(2) 求O点到P点的距离。

(3) 若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 略大于 $\text{[math]}$ ），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的 $\text{[math]}$ 点上。求粒子打在 $\text{[math]}$ 点的速度大小。

综合题困难

2. 如图所示，在Oxy坐标系 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于 $\text{[math]}$ 轴上 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ，挡板上有一小孔K位于MN中点。 $\text{[math]}$ 之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在 $\text{[math]}$ 的范围内可以产生质量为m，电荷量为 $\text{[math]}$ 的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。

(1) 求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压 $\text{[math]}$ ；

(2) 调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；

(3) 当加速电压为 $\text{[math]}$ 时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。

综合题困难

在平面直角坐标系xOy中，第I象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第IV象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成45°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示．不计粒子重力，求：

(1) M、N两点间的电势差U_MN；

(2) 粒子在磁场中运动的轨道半径r；

(3) 粒子从M点运动到P点的总时间t．

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