如图1，在中，，以AB为直径作半圆交BC，AC于点D，E.连结AD，BE，两者相交于点，过点作交AD于点，连结EG.记.

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以AB为直径作半圆交BC，AC于点D，E.连结AD，BE，两者相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交AD于点 $\text{[math]}$ ，连结EG.记 $\text{[math]}$ .

(1) 求BF的长.

(2) 求证： $\text{[math]}$ .

(3) 如图2，当点O，G，E共线时，求EF的长.

【考点】

三角形的外角性质; 角平分线的性质; 等腰三角形的判定与性质; 圆的综合题; 三角形的中位线定理; 相似三角形的判定-AA; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°

(1) 在BC上作出点D ，使它到A ， B两点的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）

(2) 若BD＝6，求CD长．

综合题普通

数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1) 小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

(2) 小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

综合题困难

如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA= $\text{[math]}$ ，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．

(1) 当AP=CP时，求QP；

(2) 若四边形PMQN为菱形，求CQ；

(3) 探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？

综合题困难