某档知识竞赛节目的规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人每道题答对的概率分别为，并且每道题两人答对与否相互独立.

1. 某档知识竞赛节目的规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为 $\text{[math]}$ ，甲､乙两人每道题答对的概率分别为 $\text{[math]}$ ，并且每道题两人答对与否相互独立.

(1) 求第一题结束时甲获得1分的概率；

(2) 求甲获得胜利的概率.

【考点】

互斥事件的概率加法公式; 基本计数原理的应用; 组合数公式的推导;

【答案】

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解答题普通

1. 已知不透明的盒子中有8个相同的乒乓球，球上标有数字1，2，3，…，8，有放回地随机抽取两次（每次抽取1个球），记下球上的数字 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，原点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．

(1) 记事件 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．求事件 $\text{[math]}$ 发生的概率 $\text{[math]}$ ．

(2) 记事件 $\text{[math]}$ 的面积不大于5．求事件 $\text{[math]}$ 发生的概率 $\text{[math]}$ ．

(3) 记事件 $\text{[math]}$ 是锐角．事件 $\text{[math]}$ 是锐角三角形．求在事件 $\text{[math]}$ 发生的条件下事件 $\text{[math]}$ 发生的概率 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点 $\text{[math]}$ 位于点 $\text{[math]}$ 处，第 $\text{[math]}$ 秒亮灯点在底面 $\text{[math]}$ 上的概率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 推测 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，并求出 $\text{[math]}$ 的表达式．

解答题普通

3. 如图，已知四棱锥S-ABCD.

(1) 从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥S-ABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数；

(2) 从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥S-ABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数.

解答题普通