一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心．

1. 一正三棱台木块 $\text{[math]}$ 如图所示，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内且为 $\text{[math]}$ 的重心．

(1) 过点 $\text{[math]}$ 将木块锯开，使截面经过 $\text{[math]}$ 平行于直线 $\text{[math]}$ ，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；

(2) 求该三棱台木块被问题 $\text{[math]}$ 中的截面分成的两个几何体的体积之比；

(3) 在棱台的底面 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 包括边界 $\text{[math]}$ 是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 长的取值范围；若不存在，说明理由．

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的体积; 空间中直线与直线之间的位置关系; 直线与平面平行的判定;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，顶点 $\text{[math]}$ 在底面的射影为线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求过点 $\text{[math]}$ 的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．

解答题普通

2. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的点．

(1) 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

(2) 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的三等分点，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通

3. 如图，在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E是棱 $\text{[math]}$ 的中点；

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.

解答题普通