小明受“曹冲称象”故事的启发，自制一个“浮力秤”，如图所示。其中圆柱形小筒可以竖直漂浮在圆柱形大筒的水中（不计圆柱形小筒壁的厚度），当秤盘上不放物体时圆柱形小筒浸入水中深度为，此时水面在小筒上正对该“浮力秤”的零刻度线。称量时把待测物体放入秤盘，此时水面在圆柱形小筒所指的示数就是待测物体的质量大小。已知透明大筒足够深，圆柱形小筒和秤盘总质量为，水的密度为，其中、及均为已知量。请解答下列问题[其中（1）和（2）小题的答案均用已知量符号的表达式表示]：

1. 小明受“曹冲称象”故事的启发，自制一个“浮力秤”，如图所示。其中圆柱形小筒可以竖直漂浮在圆柱形大筒的水中（不计圆柱形小筒壁的厚度），当秤盘上不放物体时圆柱形小筒浸入水中深度为 $\text{[math]}$ ，此时水面在小筒上正对该“浮力秤”的零刻度线。称量时把待测物体放入秤盘，此时水面在圆柱形小筒所指的示数就是待测物体的质量大小。已知透明大筒足够深，圆柱形小筒和秤盘总质量为 $\text{[math]}$ ，水的密度为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 均为已知量。请解答下列问题[其中（1）和（2）小题的答案均用已知量符号的表达式表示]：

(1) 当秤盘上不放物体时，该“浮力秤”圆柱形小筒所受的浮力大小；

(2) 求该“浮力秤”圆柱形小筒的底面积S；

(3) 将一个质量为m的物体轻轻放入秤盘上，求“浮力秤”最终静止时圆柱形小筒浸入水中深度h与加在秤盘上物体质量m的函数关系式，并根据该关系式分析说明该“浮力秤”的刻度是否均匀。

【考点】

阿基米德原理; 物体的浮沉条件及其应用;

【答案】

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计算题困难

1. 如图所示，装有少量细沙的长直平底玻璃管漂浮于水面。在液面处标注位置A，已知玻璃管的底面积为 $\text{[math]}$ ，此时玻璃管浸入水中的长度为0.2m。

(1) 求玻璃管和细沙的总重力；

(2) 将该装细沙的玻璃管放入密度为（ $\text{[math]}$ ）的酒精中，漂浮时液面位置为B；放入甲液体中，漂浮时液面位置为C。若长度， $\text{[math]}$ ，求甲液体的密度。（A、B、C均未标出，试管始终保持竖直状态）

计算题普通

2. 建设中的港珠澳大桥的隧道部分，是由一节一节用钢筋混凝土做成的空心沉管连接而成，如图所示，建造隧道时，现将沉管两端密封，如同一个巨大的长方体空心箱子，然后让其漂浮在海面上，再用船将密封沉管拖到预定海面上，向其内部灌水使之沉入海底。设某一节密封的长方体沉管的长、宽、高分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，总质量为 $\text{[math]}$ 。 $\text{[math]}$ 海水的密度取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$

(1) 漂浮在海面上的密封沉管，在灌水前受到的浮力是多少？此时露出的体积是多少？

(2) 当密封沉管上表面刚好水平浸没在海水中时，注入海水的质量至少为多少？此时其下表面受到海水的压力为多少？

计算题困难

3. 如图所示，甲、乙两容器放置在同一水平桌面上，容器中装有一定量的水，且容器甲中的液面低于容器乙中的液面；容器乙底部有一阀门S，打开后能够将容器乙中的水全部放出。体积相同的小球A、B用不可伸长的轻质细绳通过两滑轮连接后，分别置于甲、乙容器中。小球A沉在容器甲的底部，小球B有一半浸在水中，此时轻绳刚好伸直，对小球的拉力为零。现打开阀门S，使容器乙中的水缓慢减少，当小球B露出水面部分的体积为其总体积的五分之四时，小球A开始上浮。连接小球A、B的轻绳始终处于竖直状态，忽略细绳与滑轮之间的摩擦，容器乙中的水足够深，求：

(1) 小球A、B的质量之比；

(2) 小球A能露出水面部分的体积与其总体积之比的最大值。

计算题困难