在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如下列两种数。材料一：一个N位正整数，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“优数”如：249的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被2整除，“249”可以被3整除，则249是一个“优数”。材料二：若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，如：，则4为完全平方数。

1. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如下列两种数。

材料一：一个N位正整数，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“优数”如：249的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被2整除，“249”可以被3整除，则249是一个“优数”。

材料二：若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，如： $\text{[math]}$ ，则4为完全平方数。

(1) 若四位正整数 $\text{[math]}$ 是一个“优数”，求k的值；

(2) 若一个三位“优数” $\text{[math]}$ 各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“优数”。

【考点】

定义新运算; 完全平方数;

【答案】

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综合题困难

1. 对于一个两位正整数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为正整数 $\text{[math]}$ ，我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做 $\text{[math]}$ 的"平方和数"，把十位上的数与个位上的数的平方差叫做 $\text{[math]}$ 的"平方差数"例如：对数 62 来说， $\text{[math]}$ ，所以 40 和 32 就分别是 62 的"平方和数"与"平方差数"。

(1) 75 的"平方和数" 是， 5 可以是的"平方差数"；若一个数的"平方和数"为 10 ，它的"平方差数"为 8 ，则这个数是。

(2) 将数 $\text{[math]}$ 的十位上的数与个位上的数交换得到数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的"平方和数"之和等于 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的"平方差数"之和，求 $\text{[math]}$ 。

综合题困难

2. 对于三个数 $\text{[math]}$ 表示这三个数的平均数， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 这三个数中最小的数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，则 x 的取值范围是

(2) ①若 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$

②根据①，你发现结论 “若 $\text{[math]}$ ，那么(填 a，b，c大小关系)；

③运用②，填空：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

综合题普通

3. 一般地，n个相同的因数a相乘： $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，此时，3叫作以2为底8的对数，记为 $\text{[math]}$ 。一般地，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），则n叫做以a为底的b的对数，记为 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，则4叫做以3为底81的对数，记为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ）

(1) 计算下列各对数得值： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。

(2) 观察（1）中三数4.16.64之间满足怎样的关系式？ $\text{[math]}$ 之间又满足怎样的关系式？

(3) 由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）

综合题普通