在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如下列两种数。材料一：一个N位正整数，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“优数”如：249的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被2整除，“249”可以被3整除，则249是一个“优数”。材料二：若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，如：，则4为完全平方数。

1. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如下列两种数。

材料一：一个N位正整数，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“优数”如：249的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被2整除，“249”可以被3整除，则249是一个“优数”。

材料二：若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，如： $\text{[math]}$ ，则4为完全平方数。

(1) 若四位正整数 $\text{[math]}$ 是一个“优数”，求k的值；

(2) 若一个三位“优数” $\text{[math]}$ 各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“优数”。

【考点】

定义新运算; 完全平方数;

【答案】

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综合题困难

1. 材料：一个大于 1 的正整数，若被 $\text{[math]}$ 除余 1 ，被（N-1）除余 1 ，被（N-2）除余 $\text{[math]}$ ，被 3 除余 1 ，被 2 除余 1 ，那么称这个正整数为 “明 $\text{[math]}$ 礼” 数（ $\text{[math]}$ 取最大)，例如： 73 被 5 除余 3 ，被 4 除余 1 ，被3 除余 1 ，被 2 除余 1 ，那么 73 为 “明四礼” 数。

(1) 17“明三礼” 数（填 “是”或 “不是”)， 721 是 “明礼”数；

(2) 求最小的三位 “明三礼” 数；

综合题普通

2. 阅读下列材料并回答问题：

把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和。

把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分：

如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；……，

(1) 把 $\text{[math]}$ 写成两个单位分数之和。

(2) 研究真分数 $\text{[math]}$ （a是正整数），由上知，对于某些a的值，它可以写成两个单位分数之和，你还能找到多少个是能使真分数可以写成两个单位分数的和？请将部分的a的值写出：。

(3) 学习了上述知识，小明想继续研究是否所有的单位分数可以折分为两个单位分数的和？

小明在研究单位分数 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

小明在研究单位分数 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

小明在拆分单位分数的过程中发现，单位分数 $\text{[math]}$ （a是正整数），可拆分两个分母比a大的单位分数，分别设为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即其中m ， n正整数，并且小明发现了m ， n与a的关系（即用m ， n表示a），并进行了严格证明，请你尝试找到并证明此关系。

综合题普通

3. 阅读材料：若X为大于0的整数，且满足某一不等式X>a，则称X的最小值为不等式X>a的“培优数”，记为φ（X，X>a），例如：φ（X，X>2）=3，φ（X，X≥π）=4，（卷23）

(1) 已知x为大于0的整数，求φ（x，x> $\text{[math]}$ ）的值。

(2) 已知X为大于0的整数，求φ[x，5（x-3）>240-X]的值。

(3) 已知x、y为大于0的整数，求φ[x，8/15<x/x+y< $\text{[math]}$ ]的值。

综合题普通