如图①，在矩形中，，， E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G ．

1. 如图①，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，顶点D恰好落在 $\text{[math]}$ 边上点F处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G ．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 判断四边形 $\text{[math]}$ 是什么特殊四边形，并说明理由．

(3) 如图②，M、N分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（与端点不重合），且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．是否存在这样的点N ，使 $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

【考点】

勾股定理; 菱形的判定与性质; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 的中点，点E ， F在射线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题普通

2. 如图，在矩形ABCD中，分别以点A ，点C为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径在线段AC的两侧分别画弧，得交点G ， H ，作经过点G ， H的直线与线段AD ， CB的延长线分别交于点E ， F ，且与AC交于点O ，连结CE ， AF ．

(1) 判断四边形EAFC的形状，并说明理由．

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求CE的长．

解答题普通

3. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

(2) 若平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题普通