在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过-2或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设要件表示“机器人的前n次移动均未向雷达发送信息”.

1. 在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以 $\text{[math]}$ 的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过-2或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设要件

表示“机器人的前n次移动均未向雷达发送信息”.

(1) 求 $\text{[math]}$ ，

；

(2) 已知①②两个结论：① $\text{[math]}$ ；②设

是一列无穷个事件，若存在正数N ，对于任意的n均有 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ 中只有有限个事件同时发生”的概率为1.

(i)证明： $\text{[math]}$ ；事件“雷达会收到信息”的概率为1；

(ii)求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率.

【考点】

相互独立事件的概率乘法公式; 全概率公式;

【答案】

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解答题困难

1. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜．当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜．若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，甲接球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当某局打成10∶10平后，甲先发球，求“两人又打了4个球且获胜”的概率；

(2) 在单局比赛中，假如甲先发球，求甲最终11∶2获胜的概率．

解答题普通

2. 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛､竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；

(2) 当 $\text{[math]}$ ，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛.

解答题困难

3. 某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试，测试通过可获得相应学分，每年得的总学分不低于10分，该年度考核为合格.该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A､B､C､D四项，已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业技能测试是否通过相互独立.

培训项目	A	B	C	D
学分	5分	6分	4分	8分
员工甲通过测试的概率	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

(1) 若员工甲参加A､B､C三项测试，求他本年度考核合格的概率：

(2) 员工甲欲从A､B ， C､D中选择三项参加测试，若要使他本年度考核合格的概率不低于 $\text{[math]}$ ，应如何选择？请求出所有满足条件的方案.

解答题普通