若定义在D上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界．参考数据：，．

1. 若定义在D上的函数 $\text{[math]}$ 满足：对任意 $\text{[math]}$ ，存在常数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，则称 $\text{[math]}$ 是D上的有界函数，其中 $\text{[math]}$ 称为函数 $\text{[math]}$ 的上界，最小的M称为函数 $\text{[math]}$ 的上确界．

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的上确界；

(2) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：2为函数 $\text{[math]}$ 的一个上界；

(3) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若3为 $\text{[math]}$ 的上界，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

分段函数的解析式求法及其图象的作法; 函数单调性的性质; 函数的最大（小）值; 对勾函数的图象与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？

该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：

⑴通过路口的车辆长度都相等；

⑵等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；

⑶绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；

⑷离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟 $\text{[math]}$ 时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；

⑸按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．

一名建模爱好者收集数据整理如下：

⑴车长设为 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ ，车距设为 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ ，第一辆车离停车线距离为 $\text{[math]}$ ；

⑵加速度记作 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ ，汽车在匀加速运动 $\text{[math]}$ 时段行驶路程 $\text{[math]}$ ；

⑶前后车启动延迟时间记为 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ ；

⑷第 $\text{[math]}$ 辆车启动延迟时间为 $\text{[math]}$ ；

⑸该十字路口限速 $\text{[math]}$ ，换算为 $\text{[math]}$ ；

⑹第 $\text{[math]}$ 辆车到达最高限速的时间为 $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ ．

设第 $\text{[math]}$ 辆车在绿灯持续 $\text{[math]}$ 时间内驶离停车线的距离为 $\text{[math]}$ ．根据上述假设与数据， $\text{[math]}$ ，依次类推．请你解决下列问题：

(1) 求 $\text{[math]}$ ；（结果保留一位小数，单位： $\text{[math]}$ ）

(2) 对于第 $\text{[math]}$ 辆车，写出函数 $\text{[math]}$ 的分段表达式；

(3) 求在亮绿灯的 $\text{[math]}$ 内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．

解答题普通

2. 心理学家根据高中生心理发展规律，对离中生的学习行为进行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用 $\text{[math]}$ 表示学生掌握和接受概念的能力（ $\text{[math]}$ 的值越大，表示接受能力越强）， $\text{[math]}$ 表示提出和讲授概念的时间（单位： $\text{[math]}$ ），满足以下关系： $\text{[math]}$

(1) 上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？

(2) 有一道数学难题，需要54的接受能力及15min的讲授时间：老师能否及时在学生处干所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ 的解集；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 已知 $\text{[math]}$ 为正整数，求 $\text{[math]}$ 的最小值（用 $\text{[math]}$ 表示）.

解答题普通