【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中包括垂直这种特殊位置关系．

1. 【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中包括垂直这种特殊位置关系．

(1) 【应用】如图1，PQ//MN ， A、B分别在PQ、MN上，AC平分∠PAB交MN于点C ， D是直线MN上一点，AE平分∠BAD交MN于点E ．

①当D在点B的右侧，且∠ADC＝30°，∠AEC＝50°，∠BAD＝ ▲ °，∠PAC＝ ▲ °；

②过点E作EF⊥AC ，垂足为F ，记∠AEF＝x度，∠ADB＝y度，直接写出y与x的关系式．

(2) 【拓展】中欧班列是高质量共建“一带一路”的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了A ， B两座可旋转探照灯．如图2，假定主道路是平行的，即PQ//MN ，连结AB ，且∠ABN＝45°．灯A发出的射线AC自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B发出的射线BD自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是3度/秒，灯B转动的速度是9度/秒，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当灯A射线AC从AQ转至AP的过程中，AC与BD互相垂直时，请直接写出此时t的值．

【考点】

一元一次方程的其他应用; 平行线的性质; 角平分线的概念;

【答案】

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实践探究题困难

1. 根据以下素材，解决问题：

题：

因收纳需要，常常会准备一些无盖纸盒，现将长为8，宽为4的长方形彩纸进行裁剪，用来装饰竖式、横式的无盖纸盒．装饰竖式、横式的无盖纸盒．
素材1	彩纸的裁剪方案：
素材2	1个竖式无盖纸盒所需彩纸	1个横式无盖纸盒所需彩纸

问题解决：

(1) 现有彩纸 17 张，若只装饰竖式无盖纸盒，选用素材 1 中的两种裁剪方案，要求裁剪无余料，且 17 张彩纸裁剪所得的纸片恰好全部用完，则应选择的两种裁剪方案是_▲_，一共可以做成多少只竖式无盖纸盒？请写出你的解答过程.

(2) 若装饰竖式和横式两种无盖纸盒共 2022 个，选用素材 1 中的两种裁剪方案，要求裁剪后无余料，且裁剪所得的纸片恰好全部用完，则至少需要多少张彩纸?

实践探究题困难

2. 综合与实践数学社团的同学以“两条平行线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和一块含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）”为主题开展数学活动，已知点E、F不能同时落在直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间．

(1) 观察猜想：如图1，把三角板的 $\text{[math]}$ 角的顶点E，G 分别放在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点 G 放在 $\text{[math]}$ 上，且保持不动，绕点 G 转动三角板，若点E恰好落在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所夹锐角为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 解决问题：把三角板的锐角顶点G放在 $\text{[math]}$ 上，在绕点G旋转三角板的过程中，若存在 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )，请求出射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交所夹锐角的度数．

实践探究题普通

3. 综合与探究

在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．

(1) 如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有 $\text{[math]}$ 角的直角三角板的斜边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板的一个顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 如图2，在图1的基础上，直角三角板 $\text{[math]}$ 固定不动，让直角三角板 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，使得点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 上，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3) 在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板 $\text{[math]}$ 固定不动，直角三角板 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转（旋转度数小于 $\text{[math]}$ ），设边 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ 的延长线）与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，当斜边 $\text{[math]}$ 与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ）的度数．

实践探究题困难