求一个棱长为的正四面体的体积，常有如下解法：构造一个棱长为1的正方体，我们称之为该四面体的“生成正方体”（如图一），则四面体是棱长为的正四面体，四面体的体积.

1. 求一个棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体的体积，常有如下解法：构造一个棱长为1的正方体，我们称之为该四面体的“生成正方体”（如图一），则四面体 $\text{[math]}$ 是棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体，四面体 $\text{[math]}$ 的体积 $\text{[math]}$ .

(1) 求四面体 $\text{[math]}$ 的体积；

(2) 模仿（1），对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明；

(3) 一个相对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体（如图二），其三组对棱长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求此四面体的体积.

【考点】

棱柱的结构特征; 棱锥的结构特征; 棱柱、棱锥、棱台的体积;

【答案】

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解答题容易

1. 如图，已知在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求四棱锥 $\text{[math]}$ 的表面积；

(1) 求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通

(1) 已知正四棱锥的底面边长是 $\text{[math]}$ ，侧棱长为 $\text{[math]}$ ，求该正四棱锥的体积；

(2) 如图 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分绕 $\text{[math]}$ 旋转一周所形成的几何体的体积．

解答题普通

3. 如图，已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是面积为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ ，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为 $\text{[math]}$ .

(1) 计算四棱锥 $\text{[math]}$ 的高；

(2) 计算四棱锥 $\text{[math]}$ 侧面三角形底边上的高.

解答题普通