已知i是虚数单位，a ，，设复数，，，且.

1. 已知i是虚数单位，a ， $\text{[math]}$ ，设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ 为纯虚数，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点分别为A ， B ，且O为复平面的坐标原点.

①是否存在实数a ， b ，使向量 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后与向量 $\text{[math]}$ 重合，如果存在，求实数a ， b的值；如果不存在，请说明理由；

②若O ， A ， B三点不共线，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 及其最大值.

【考点】

虚数单位i及其性质; 复数代数形式的混合运算; 复数运算的几何意义; 复数代数形式与三角形式的互化;

【答案】

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解答题普通

1. 设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .现在复数系中定义一个新运算 $\text{[math]}$ ，规定： $\text{[math]}$ .

(1) 已知 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 现给出如下有关复数新运算 $\text{[math]}$ 性质的两个命题：

① $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .

请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.

解答题普通

2. 已知z为复数， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为实数，其中i是虚数单位.

(1) 求复数z和 $\text{[math]}$ ；

(2) 若复数 $\text{[math]}$ 在第四象限，求m的取值范围.

解答题普通

3. 已知虚数z满足 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在直线 $\text{[math]}$ 上；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ .

解答题普通