对于正整数n ，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方和。例如：，，规定，。例如：，。

1. 对于正整数n ，定义 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示n的首位数字、末位数字的平方和。

例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。

(1) 求： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(2) 若 $\text{[math]}$ ，则正整数m的最小值是

【考点】

定义新运算;

【答案】

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解答题普通

1. 对于一个四位自然数 $\text{[math]}$ ，若其百位数字等于其个位数字与十位数字之和，其千位数字等于其十位数字与百位数字之和，则称这个四位自然数 $\text{[math]}$ 为“加油数”，并将该“加油数”的各个数位数字之和记为 $\text{[math]}$ ，例如：5413是“加油数”，因为5413的个位数字是3，十位数字是1，百位数字是4，千位数字是5，且3+1=4，1+4=5，所以5413是“加油数”。则 $\text{[math]}$ ；9734不是“加油数”，因为9734的个位数字是4，十位数字是3，百位数字是7，千位数字是9，而4+3=7，但3+7 =10≠9，所以9734不是“加油数”。

(1) 判断8624、6431是否为“加油数”，并说明理由；

(2) 若x，y均为“加油数”，其中x的个位数字为1，y的十位数字为2，且 $\text{[math]}$ ，求所有满足条件的“加油数”x。

解答题普通

2. 对于各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若末三位数字形成的三位数减去千位数字所得的差能被 13 整除，则称这个四位数为“兔飞猛进数”. 例如： 4342→342-4=338，∵338÷13=26， ∴4342是“兔飞猛进数”； 4338→338-4=334， ∵334÷13=25…9， ∴4338不是“兔飞猛进数”。

(1) 判断2574 和3716是否是“兔飞猛进数”? 并说明理由：

(2) 已知一个四位正整数N，其千位数字是个位数字的 2倍，百位数字比十位数字大 1，且N是一个“兔飞猛进数”，求符合条件的所有正整数N.

解答题普通

3. 对大于0的自然数n规定一种运算“G”：

①当n是奇数时， G(n)=3n+1；

②当n是偶数时，G(n)等于n连续被2除，直到商是奇数. 将k次“G”运算记作G*.

如 $\text{[math]}$

(1) 求G¹(2016)的值

(2) 求G⁵(18)的值

(3) 求G²⁰²³(19)的值

解答题普通