在中，⊙O是的外接圆，连结并延长，交于点，交⊙O于点，．连结，．

1. 在 $\text{[math]}$ 中，⊙O是 $\text{[math]}$ 的外接圆，连结 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交⊙O于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是否能确定⊙O的大小？若能，请求出⊙O的直径；若不能，请说明理由．

【考点】

圆周角定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在射线BC上运动， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的面积.

(2) 如图2，连结BO并延长，分别交AC，AP于点D，E，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求BP的长.

(3) 当圆心 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部时，求BP的取值范围.

综合题困难

2. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

3. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

(1) 已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长；

(2) 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；

(3) 如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 $\text{[math]}$ 的值。

综合题困难