材料一：一个大于1的正整数，若被除余1，被除余1，被除余1……，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明礼”数（取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．材料二：设， ……，3，2的最小公倍数为，那么“明礼”数可以表示为（为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为（为正整数）

1. 材料一：一个大于1的正整数，若被 $\text{[math]}$ 除余1，被 $\text{[math]}$ 除余1，被 $\text{[math]}$ 除余1……，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明 $\text{[math]}$ 礼”数（ $\text{[math]}$ 取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．

材料二：设 $\text{[math]}$ ， ……，3，2的最小公倍数为 $\text{[math]}$ ，那么“明 $\text{[math]}$ 礼”数可以表示为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）

(1) 求出最小的三位“明三礼”数；

(2) 一个“明四礼”数与“明五礼”数的和为170，求出这两个数．

【考点】

定义新运算; 多元一次方程; 公倍数与最小公倍数;

【答案】

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综合题困难

1. 阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程 $\text{[math]}$ 有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数（大于0的自然数称为正整数）解．例由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ （x、y为正整数），要使 $\text{[math]}$ 为正整数，则 $\text{[math]}$ 为正整数，可知：

x为3的倍数，从而 $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的正整数解为 $\text{[math]}$ ；

问题：

(1) 请你直接写出方程 $\text{[math]}$ 的正整数解。

(2) 若 $\text{[math]}$ 为正整数，则满足条件的自然数x的值为。

综合题困难

2. 材料：一个大于 1 的正整数，若被 $\text{[math]}$ 除余 1 ，被（N-1）除余 1 ，被（N-2）除余 $\text{[math]}$ ，被 3 除余 1 ，被 2 除余 1 ，那么称这个正整数为 “明 $\text{[math]}$ 礼” 数（ $\text{[math]}$ 取最大)，例如： 73 被 5 除余 3 ，被 4 除余 1 ，被3 除余 1 ，被 2 除余 1 ，那么 73 为 “明四礼” 数。

(1) 17“明三礼” 数（填 “是”或 “不是”)， 721 是 “明礼”数；

(2) 求最小的三位 “明三礼” 数；

综合题普通

3. 阅读下列材料并回答问题：

把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和。

把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分：

如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；……，

(1) 把 $\text{[math]}$ 写成两个单位分数之和。

(2) 研究真分数 $\text{[math]}$ （a是正整数），由上知，对于某些a的值，它可以写成两个单位分数之和，你还能找到多少个是能使真分数可以写成两个单位分数的和？请将部分的a的值写出：。

(3) 学习了上述知识，小明想继续研究是否所有的单位分数可以折分为两个单位分数的和？

小明在研究单位分数 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

小明在研究单位分数 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

小明在拆分单位分数的过程中发现，单位分数 $\text{[math]}$ （a是正整数），可拆分两个分母比a大的单位分数，分别设为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即其中m ， n正整数，并且小明发现了m ， n与a的关系（即用m ， n表示a），并进行了严格证明，请你尝试找到并证明此关系。

综合题普通