对于任意一个四位数N，如果N满足各个数位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数N为“双减数”，对于一个“双减数” ，将它的千位和百位构成的两位数为，个位和十位构成的两位数为，规定：．例知：N=7028，因为，所以7028是一个“双减数”，则。

1. 对于任意一个四位数N，如果N满足各个数位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数N为“双减数”，对于一个“双减数” $\text{[math]}$ ，将它的千位和百位构成的两位数为 $\text{[math]}$ ，个位和十位构成的两位数为 $\text{[math]}$ ，规定： $\text{[math]}$ ．例知：N=7028，因为 $\text{[math]}$ ，所以7028是一个“双减数”，则 $\text{[math]}$ 。

(1) 判断3401，5713是否是“双减数”，并说明理由；如果是，求出 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若“双减数”M的各个数位上的数字之和能被11整除，且 $\text{[math]}$ 是3的倍数，求M的值。

【考点】

定义新运算;

【答案】

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综合题困难

1. 材料：一个大于 1 的正整数，若被 $\text{[math]}$ 除余 1 ，被（N-1）除余 1 ，被（N-2）除余 $\text{[math]}$ ，被 3 除余 1 ，被 2 除余 1 ，那么称这个正整数为 “明 $\text{[math]}$ 礼” 数（ $\text{[math]}$ 取最大)，例如： 73 被 5 除余 3 ，被 4 除余 1 ，被3 除余 1 ，被 2 除余 1 ，那么 73 为 “明四礼” 数。

(1) 17“明三礼” 数（填 “是”或 “不是”)， 721 是 “明礼”数；

(2) 求最小的三位 “明三礼” 数；

综合题普通

2. 阅读下列材料并回答问题：

把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和。

把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分：

如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；……，

(1) 把 $\text{[math]}$ 写成两个单位分数之和。

(2) 研究真分数 $\text{[math]}$ （a是正整数），由上知，对于某些a的值，它可以写成两个单位分数之和，你还能找到多少个是能使真分数可以写成两个单位分数的和？请将部分的a的值写出：。

(3) 学习了上述知识，小明想继续研究是否所有的单位分数可以折分为两个单位分数的和？

小明在研究单位分数 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

小明在研究单位分数 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

小明在拆分单位分数的过程中发现，单位分数 $\text{[math]}$ （a是正整数），可拆分两个分母比a大的单位分数，分别设为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即其中m ， n正整数，并且小明发现了m ， n与a的关系（即用m ， n表示a），并进行了严格证明，请你尝试找到并证明此关系。

综合题普通

3. “格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法。这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”。具体步骤如下：

①先画一个矩形，把它分成 $\text{[math]}$ 个方格，（p、q分别为两乘数的位数），在方格上边、右边分别写下两个因数；

②再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数；

③然后这些乘积由右下到左上，沿斜线方向相加，相加满十时向前进一；

④最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）．

比如：

(1) 图1是用“铺地锦”计算 $\text{[math]}$ 的格子，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 图2是用“铺地锦”计算 $\text{[math]}$ 的格子，已知 $\text{[math]}$ ，求m和n的值。

综合题困难