如图1所示，abcd是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，其质量为m ，电阻为R。在金属线框的下方有一匀强磁场区域，PQ和P´Q´是该匀强磁场区域的水平边界，并与线框的bc边平行，磁场方向与线框平面垂直。现金属线框由距PQ某一高度处从静止开始下落，经时间后刚好到达PQ边缘，速度为，假设线框所受的空气阻力恒定。图2是金属线框由静止开始下落到完全穿过匀强磁场区域过程中的速度—时间图像。试求：

1. 如图1所示，abcd是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，其质量为m ，电阻为R。在金属线框的下方有一匀强磁场区域，PQ和P´Q´是该匀强磁场区域的水平边界，并与线框的bc边平行，磁场方向与线框平面垂直。现金属线框由距PQ某一高度处从静止开始下落，经时间 $\text{[math]}$ 后刚好到达PQ边缘，速度为 $\text{[math]}$ ，假设线框所受的空气阻力恒定。图2是金属线框由静止开始下落到完全穿过匀强磁场区域过程中的速度—时间图像。试求：

(1) 金属线框由静止开始下落到完全穿过匀强磁场区域的总位移；

(2) 金属线框在进入匀强磁场区域过程中流过其横截面的电荷量；

(3) 金属线框在整个下落过程中所产生的焦耳热。

【考点】

导体切割磁感线时的感应电动势; 电磁感应中的图像类问题; 电磁感应中的动力学问题; 电磁感应中的能量类问题;

【答案】

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计算题普通

1. 如图所示，界线MN以下存在一个方向水平的磁场（垂直于纸面向里），取MN上一点O作为原点，竖直向下建立y轴，磁场的磁感应强度B随y坐标（以m为单位）的分布规律为 $\text{[math]}$ 。一边长为 $\text{[math]}$ 、质量为 $\text{[math]}$ 、电阻 $\text{[math]}$ 的正方形金属框abcd从MN上方静止释放，0.2s后金属框的cd边到达界线MN，此时给金属框施加一个竖直方向的外力F，直至金属框完全进入磁场时撤去该外力。已知金属框在进入磁场的过程中电流保持恒定，且金属框运动过程中上下边始终水平、左右边始终竖直，g取 $\text{[math]}$ 。

(1) 求金属框进入磁场的过程中电流大小I；

(2) 求当金属框完全进入磁场时，整个过程中克服安培力所做的功W；

(3) 求金属框完全进入磁场后最终做匀速直线运动的速度大小 $\text{[math]}$ 。

计算题普通

2. 如图所示，e₁f₁g₁和 e₂f₂g₂是两根足够长且电阻不计的固定光滑平行金属轨道，其中f₁g₁和 f₂g₂为轨道的水平部分， e₁f₁和 e₂f₂是倾角（θ=37°的倾斜部分。在f₁f₂右侧空间中存在磁感应强度大小 B=2T，方向竖直向上的匀强磁场，不计导体棒在轨道连接处的动能损失。将质量 m=1kg，单位长度电阻值R₀=10Ω/m的导体棒 ab于倾斜导轨上，距离斜面轨道底端高度 h=5cm，另一完全相同的导体棒cd静止于水平导轨上，导轨间距均为L=8cm。t=0时，导体棒ab从静止释放，到两棒最终稳定运动过程中， ab、cd棒未发生碰撞，且两导体棒始终与导轨保持垂直， g取10m/s²。求：

(1) ab 棒刚滑到斜面轨道底端时回路中产生的电流；

(2) 两导体棒的最终速度大小；

(3) 从开始计时到两棒最终稳定运动过程中，通过回路的电荷量。

计算题普通

3. 如图所示，长直金属杆M、N在水平固定的平行光滑长直金属导轨上运动，导轨间距为L；水平虚线 $\text{[math]}$ 与导轨垂直， $\text{[math]}$ 左、右两侧区域分别充满垂直于导轨平面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。初始时刻，N静止在 $\text{[math]}$ 左侧导轨上，M从N左侧以初速度 $\text{[math]}$ 水平向右运动．M、N质量均为m、在导轨间的电阻均为R，整个运动过程中，两金属杆始终与导轨垂直并接触良好．感应电流产生的磁场、导轨电阻、空气阻力及两金属杆粗细均忽略不计，导轨足够长。

(1) 求初始时刻M的加速度大小和方向；

(2) 若M、N在 $\text{[math]}$ 左侧未相撞，N进入 $\text{[math]}$ 右侧时速度大小为 $\text{[math]}$ ，求初始时刻M、N间距至少为多少？

(3) 在（2）的条件下，若M到达 $\text{[math]}$ 处时速度大小为 $\text{[math]}$ ，求M、N的碰撞次数，及M、N最终速度大小．

计算题困难