已知椭圆的离心率为，设的右焦点为，左顶点为，过的直线与于两点，当直线垂直于轴时，的面积为．

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，左顶点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，当直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别交圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点．

①当直线 $\text{[math]}$ 斜率存在时，设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

②设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的焦距与短轴长相等，左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为抛物线E： $\text{[math]}$ 的焦点.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 若A ， B为椭圆C上两点，且都在x轴上方，满足 $\text{[math]}$ .若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线E没有交点，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积的取值范围.

解答题困难

2. 已知一菱形的边长为2，且较小内角等于 $\text{[math]}$ ，以菱形的对角线所在直线为对称轴的椭圆C外接于该菱形.

(1) 建立恰当的平面直角坐标系，求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 所在平面上的点 $\text{[math]}$ 到椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴､短轴的距离依次是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴所在直线的两个夹角相等.求直线 $\text{[math]}$ 与菱形对角线的夹角的正切值；

(3) 在（2）的条件下求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是与 $\text{[math]}$ 无关的实数.

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，如图所示，过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 分别相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，试探究直线 $\text{[math]}$ 是否恒过定点？若是，求出这个定点坐标；若不是，请说明理由.

解答题困难