已知关于x的方程.

1. 已知关于x的方程 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；

(2) 若等腰三角形的三边长分别为a ， b ， c ，其中 $\text{[math]}$ ，并且b ， c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长.

【考点】

一元二次方程根的判别式及应用; 三角形三边关系; 等腰三角形的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 $\text{[math]}$ 一定为完全平方数．现规定 $\text{[math]}$ 为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程” $\text{[math]}$ ，的两根均为整数，其“快乐数” $\text{[math]}$ ，若有另一个“快乐方程” $\text{[math]}$ 的“快乐数” $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“开心数”．

(1) “快乐方程” $\text{[math]}$ 的“快乐数”为________；

(2) 若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为整数，且 $\text{[math]}$ ）是“快乐方程”，求 $\text{[math]}$ 的值，并求该方程的“快乐数”；

(3) 若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，求k的取值范围.

解答题普通