观察下列各式：

1. 观察下列式子：

$\text{[math]}$

(1) 根据以上式子，请直接写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 根据以上式子，请直接写出 $\text{[math]}$ 的结果（n为正整数）；

(3) 计算： $\text{[math]}$ ．

实践探究题普通

2. 观察下列等式：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ …

(1) 请按以上规律写出第8个等式；

(2) 猜想并写出第n个等式（n为正整数）；

(3) 证明你猜想的正确性．

实践探究题普通

3. 【数学史料】

$\text{[math]}$ 孙子算经 $\text{[math]}$ 是中国古代重要的数学著作之一，相传为春秋时期著名军事家孙武所作， $\text{[math]}$ 孙子算经 $\text{[math]}$ 中记载的“同余思想”为我们研究周期性变化规律提供了研究方法．

【应用举例】

例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们可以发现 $\text{[math]}$ 的指数幂个位数字是分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这四个数字不断重复出现，因此我们把它称为周期性变化规律，其周期为 $\text{[math]}$ 是第 $\text{[math]}$ 个指数幂，用序号 $\text{[math]}$ ，商 $\text{[math]}$ 余 $\text{[math]}$ ，于是第 $\text{[math]}$ 个指数幂 $\text{[math]}$ 个位数字与第一个指数幂相同； $\text{[math]}$ 是第 $\text{[math]}$ 个指数幂，用序号 $\text{[math]}$ ，商 $\text{[math]}$ 余 $\text{[math]}$ ，于是第 $\text{[math]}$ 个指数幂 $\text{[math]}$ 个位数字与第二个指数幂相同； $\text{[math]}$ 是第 $\text{[math]}$ 个指数幂，用序号 $\text{[math]}$ ，商 $\text{[math]}$ 余 $\text{[math]}$ ，于是第 $\text{[math]}$ 个指数幂个位数字与第三个指数幂相同； $\text{[math]}$ 是第 $\text{[math]}$ 个指数幂，用序号 $\text{[math]}$ ，商 $\text{[math]}$ 余 $\text{[math]}$ ，于是第 $\text{[math]}$ 个指数幂个位数字与第四个指数幂相同 $\text{[math]}$ ，按照这样方法第 $\text{[math]}$ 个指数幂 $\text{[math]}$ 的个位数字，就用 $\text{[math]}$ ，余数是 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的个位数字与第三个指数幂 $\text{[math]}$ 相同，都是 $\text{[math]}$ 也就是说用序号分别除以周期，所得余数相同的指数幂其个位数字相同．

【归纳小结】应对周期性变化规律，找准变化周期，用同余 $\text{[math]}$ 余数相同 $\text{[math]}$ 关系解决问题．

【拓广探索】已知 $\text{[math]}$ 是不为 $\text{[math]}$ 的实数，我们把 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的差倒数，如： $\text{[math]}$ 的差倒数是 $\text{[math]}$ 现已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数，以此类推， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数 $\text{[math]}$ 为正整数 $\text{[math]}$ ．